Докажите, что четырехугольник с вершинами Е-2-0, F2-2, M4—2, N0—4 является квадратом

Докажите, что четырехугольник с вершинами Е(-2;0), F(2;2), M(4;-2), N(0;-4) является квадратом.

  • Если переместить начало координат в точку (-1,-1) (то есть просто передвинуть оси), то координаты точке В НОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ будут Е(-3;1), F(1;3), M(3;-1), N(-1;-3).
    Легко видеть, что В НОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ эти точки «переходят в себя» при повороте фигуры на угол, кратный 90° (относительно НОВОГО НАЧАЛА КООРДИНАТ, конечно, такой поворот НЕ ТРЕБУЕТ вращения фигуры, можно повернуть оси против часовой стрелки, а фигуру не трогать).
    Например, при повороте фигуры на 90° по часовой стрелке (или — то же самое — осей на -90° ) точка Е переходит в F; F => M; M => N; N => E; 
    В самом деле, если оси повернуть на -90
    °, то осью X станет ось Y, а осью Y — «развернутая наоборот» ось X, и координаты точек будут такие E(1,3) N(-3,1) M(-1,-3) F(3,-1), то есть E=>F; F=>M; M=>N; N =>E, проще говоря, после поворота осей на 90° координаты вершин не изменились (ну, поменялись буквы, их обозначающие, и что ?:) ), фигура перешла «сама с себя».
    Поэтому эта фигура квадрат.

    Я ОЧЕНЬ рекомендую НЕ показывать это решение учителю, потому что в дальнейшем возникнет проблема «гениальности»…. :))))) но разобраться полезно. Я намеренно расписал всё очень подробно. На самом деле решение вполне можно обрывать на второй строчке.
    Учитель ждет решения по «стандартному» методу для тупых, а именно — показать, что 1) это параллелограмм, то есть EF II MN; EN II FM; 2) показать, что EF = FM; 3) показать, что угол между NE и EF прямой. 
    Можно доказать, что диагонали EM и NF равны, взаимно перпендикулярны и пересекаются в середине. 
    Конечно, решение, приведенное мной, гораздо проще и нагляднее (и, между прочим, очень может помочь с диагоналями :) ), но оно очень сильно отличается от того, чему учат в школах :)))) То есть — от тугоумия.