Докажите теорему о площади прямоугольника

Докажите теорему о площади прямоугольника

  • Площадь прямоугольника равна произведению его сторон (рис. 13.2.1): 
    S  =  a  ·  b .
     Доказательство Пусть ABCD и AB 1 C 1 D – два прямоугольника с общим основанием AD (рис. 13.2.1). Рисунок 13.2.1. Рисунок 13.2.2. Пусть S и  – их площади. Докажем, что    Разобьем сторону AB прямоугольника на некоторое число n равных частей, каждая из которых равна    Пусть m – число точек деления, которые лежат нa стороне AB 1. Тогда    Отсюда, разделив на AB , получим 
       (*)
    Проведем через точки деления прямые, параллельные основанию AD . Они разобьют прямоугольник ABCD на n равных прямоугольников. Каждый из них имеет площадь    Прямоугольник  содержит первые m прямоугольника, считая от стороны AD , и содержится в m  + 1 прямоугольниках. Поэтому    Отсюда   (**)Сравнивая неравенства (*) и (**), заключаем, что    При этом    и   – фиксированные числа, а n может быть выбрано сколь угодно большим. Следовательно, неравенство возможно только при    Возьмем теперь единичный квадрат, прямоугольник со сторонами 1, a и прямоугольник со сторонами a , b (рис. 13.2.2). Площадь прямоугольника со сторонами 1 и a обозначим  Сравнивая их площади, по доказанному будем иметь    и    Перемножая эти равенства почленно, получим S  =  a  ·  b . Теорема доказана.